Sedm největších nevyřešených matematických problémů, jejichž vyřešení bude odměněno (každý jeden) jedním miliónem amerických dolarů
Pro podrobnější studium této problematiky doporučuji knihu K.Devlina "Problémy pro třetí tisíciletí" (Dokořán, 2005)
- Riemannova hypotéza
Jediný dosud nevyřešený problém z původních Hilbertových problémů; jedná se dle
mínění matematiků o nejvýznamější nevyřešený problém současné matematiky
Otázka zní: jaká je struktura prvočísel v rámci přirozených čísel, pokud tedy vůbec nějaká struktura existuje ? (Bernhard Riemann; 1859)
Již Eukleides (350 př.n.l.) dokázal, že posloupnost prvočísel roste nade všechny meze a tedy je jich nekonečně mnoho a jejich hustota se
postupně snižuje. Důkaz R.h. by přispěl nejen k porozumění prvočíslům a způsobu jejich rozložení, ale uplatnění by se nalezlo i ve fyzice
a v moderních komunikačních technologiích (šifrování).
- Yangova-Millsova teorie a hypotéza hmotnostních rozdílů
Y-M rovnice pocházejí z kvantové fyziky a popisujít všechny přírodní síly kromě gravitace (Chen-Ning Yang, Robert Mills; kolem 1965)
Rovnice funguji skvěle a prognózy z nich odvozené popisují částice, které byly pozorovány v laboratořích - metoda v praktickém hledisku
tedy funguje, ale jako matematická teorie nebyla dosud zcela dopracována. Je požadována vybudovat chybějící teorii výhradně s použitím
matematických axiomů. Zejména je nutno matematicky popsat tzv. 'hypotézu hmotnostních rozdílů', která se týká předpokládaných řešení
Y-M rovnic - tato doměnka by vysvětlila, proč mají elektrony hmotnost.
- problém P versus NP
Jediný problém, týkající se počítačů (v pův. Hilbertových problémech byl problém č. 10 také "počítačový" - šlo o důkaz,
že jisté rovnice nelze vyřešit strojem - problém byl vyřešen r. 1970)
Výpočetní úlohy pro počítače se dělí do dvou skupin: kategorie P (polynomální), jež mohou být úspěšně vyřešeny strojem a úlohy
typu E (exponenciální), jejichž vyřešení počítačem by vyžadovalo miliony let strojového času. Většina důležitých výpočetních úloh
spadá do kategorie NP, která, jak se zdá, leží někdy mezi typy P a E. Ale není náhodou kategorie NP jen 'převlečná' P ? Většina
odborníků věří, že NP a P nejsou totožné, ale stále o tom není rozhodnuto. Kladná odpověď (NP = P) by našla významné aplikace
v průmyslu či elektronických komunikačních prostředcích...
- Navierovy-Stokesovy rovnice
N-S rovnice popisují pohyb kapalin a plynů (např. vody kolem lodního trupu nebo vzduch kolem křídla letadla) a patří do kategorie
parciálních diferenciálních rovnic, ale najít jejich řešení se zatím nikomu nepodařilo a ani není jisté zda vůbec nějaké řešení existuje.
Lodní či letečtí inženýři stavějí sice mohutné lodě či výkonná letadla, přesto však neexistuje obecná formule pro řešení těchto rovnic, tak
se s pomocí počítačů nacházejí alespoň přibližná řešení. Nalezení řešení N-S rovnic by tak vedlo k pokroku v lodním a leteckém strojírenství. ´
- Poincarého domněnka
Problém z oblasti topologie (H.Poincaré, začátek 20. století); jako jediný byl tento problé, vyřešen v r. 2003 (G.Perelman) a potvrzeno r. 2006
Problém pochází ze zdánlivě snadné otázky: jak rozeznat jablko od pneumatiky ? Poincaré samozřejmě požadoval přesnou matematickou odpověď,
která by se dala využít v obecnějších situacích.
Domněnka tvrdí, že každý jednoduše souvislý trojrozměrný povrch je ekvivalentní povrchu čtyřrozměrné koule - jestliže natáhneme gumičku okolo
jablka, pak ji můžeme pomalým pohybem stáhnout do jediného bodu, aniž bychom ji trhali nebo ji dovolili opustit povrch jablka. Kdežto,
pokud natáhneme gumičku kolem pneumatiky, neexistuje žádný způsob jak ji stáhnout do jednoho bodu, aniž bychom roztrhli jedno nebo druhé.
Zeptáme-li se však, zda je možné použít analogickou úvahu se smršťující se gumičkou na čtyřrozměrná jablka a čtyřrozměrné pneumatiky, v té
chvíli nebyla jasná odpověď (tedy až do r. 2003).
Důsledky pokroku v topologii se projevují např. v designu, výrobě křemíkových čipů a dalších elektronických zařízení, v dopravě, ve výzkumu
lidskémo mozku či ve filmovém průmyslu...
- Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka
Tento problém (podobně jako Riemannova hypotéza) je z 'oboru' obecné matematiky.
Již staří Řekové se snažili popsat všechna celočíselná řešení rovnice typu x2 + y2 =
z2. Tuto rovnici vyřešil Eukleides (nalezl vzorec, který dává všechna její řešení). V r. 1994 dokázal A.Wiles,
že pro žádnou mocninu vyšší než 2 nemá rovnice xn + yn = zn
žádná nenulová celočíselná řešení (tzv. velká Fermatova věta).
Pro složitější rovnice může být velice obtížné určit, zda mají řešení nebo ne a pokud ano, pak která to jsou. Řešení by přispělo k našim
celkovým vědomostem o prvočíslech.
- Hodgeova domněnka
Další problém z oblasti současné topologie (polovina 20. století).
Obecně pojednává o tom, jak složité matematické objekty lze zkonstruovat pomocí jednoduchých. Základní myšlenkou byla otázka, do jaké míry
můžeme aproximovat tvar daného předmětu slepováním jednoduchých geometrických stavebních bloků, což vedlo ke vzniku mocných teoretických
nástrojů, s jejichž pomocí bylo možno sestavit katalog různých druhů objektů. Zobecňování však zašlo za rámec geometrických pramenů této
procedury a bylo nutno přidat prvky, které neměly žádný geometrický význam. H.d. praví, že nicméně pro jednu důležitou třídu objektů
(projektivní algebraické variety) jsou jisté součásti (Hodgeovy cykly) kombinacemi prvků geometrických (algebraické cykly).
Pravděpodobně se jedná o nejdůležitější a také nejnáročnější otázky matematiky
