přirozená čísla - (1,2,3,4 ...) definují se jako
kardinální čísla
konečných množin: p.č. je objekt, který se přiřazuje konečné množině tak, aby ekvipotentním množinám bylo přiřazeno
totéž číslo a neekvipotentním množinám byla přiřazena různá čísla; množina všech přirozených čísel se
značí N
0 a pokud je tato množina doplněna o nulu, pak se značí N;
přiřazujeme-li jednotlivým prvkům množiny postupně čísla 1,2,3 ... , poslednímu prvku v příslušném uspořádání
je vždy přiřazeno totéž přirozené číslo, které zde charakterizuje uspořádání množiny a jde o tzv.
ordinální číslo. Na množině N
0 můžeme kromě uspořádání zavést i operace
sčítání o násobení, přitom však k těmto operacím neexistují inverzní operace definované všude v N
0.
racionální čísla - (-2,-1,0,1,2) se označují jako množina Q; každá uspořádaná dvojice (a,b)
je ekvivalentní uspořádané dvojici (0,0) při a=b, uspořádané dvojici (c,0) pro c=a-b při a>b a uspořádané dvojici
(0,c) pro c=b-a při a<b; každé racionální číslo představované dvojicí (c,0) se značí symbolem +c (kladné racionální
číslo Q
+), každé r.č. představované dvojicí (0,c) se značí -c (záporné r.č. Q
-),
pro r.č. představované dvojicí (0,0) užíváme symbolu 0 (nula)
každé r.č. je vytvořeno na základě jistého nezáporného čísla a toto číslo se pak nazývá jeho absolutní hodnota - dvě r.č.,
které mají tutéž absolutní hodnotu, ale různá znaménka, se nazývají čísla opačná; taqké v množině Q se zavádí uspořádání,
sčítání a násobení
iracionální čísla - číslo, které nelze zapsat jako podíl dvou přirozených čísel
(např. √2); také viz zde 'reálná čísla'
reálná čísla - tvoří množinu značenou R; zkoumáním tohoto pojmu začalo u Pythagorejců: uvažovali
čtverec o délce strany rovné 1 a tak tedy délka jeho úhlopříčky musí být číslo, jehož druhá mocnina je rovna 2 (podle
Pythagorovy věty); dostáváme tedy další doplnění množiny Q zavedením reálných čísel; konstrukce množiny všech r.č. jako
rozšíření racionálních čísel pocházejí až z konce 19. stol. - uvažujme rozklad množiny Q na dvě třídy A
1 a
A
2, obě neprázdné a takové, že každý prvek první z nich je menší než každý prvek druhé (tzv.
Dedekindův řez); dokáže se, že jsou tři možné případy: A
1 má maximum a
A
2 nemá minimum, A
2 má minimum a A
1
nemá maximum, A
1 nemá maximum a A
2 nemá minimum;
zavedeme reálné číslo α jako prvek, který odděluje třídy A
1 a
A
2 - v prvním případě je to maximum množiny A
1,
ve druhém případě minimum množiny A
2 a ve třetím případě je α nově zavedené číslo,
které není racionální a tak se mu říká
iracionální a píšeme jej α =
(A
1, A
2); také na R se zavádí uspořádání a početní operace;
všechny vlastnosti, které platí v Q, platí i v R a navíc platí, že pro každé přirozené číslo n existují n-té
odmocniny ze všech kladných reálných čísel
komplexní čísla mají tvar a+bi, kde a i b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka, což
je takové imaginární číslo jehož druhá mocnina je rovna -1 a píše se také i=√-1; a se nazývá reálná část k.č. a
b se nazývá imaginární část k.č.; číslu a+bi lze přiřadit vektor, pak mluvíme o reálné ose a o imaginární ose a rovina
v níž takto k.č. zobrazujeme se nazývá
Gaussova rovina; množina k.č. C je rozšířením množiny R;
početní operace na množině C jsou definovány takto:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i,
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
na množině C je definována rovnost tak, že a+bi = c+di právě tehdy, je-li a=c, b=d;
uspořádání se na množině C nezavádí; dvě k.č. se nazývají
komplexně sdružená, jestliže mají stejné
reálné části a jejich imaginární části jsou navzájem opačná čísla; jejich součet je 2a, jejich součin
a
2 + b
2; absolutní hodnota k.č. a+bi je
√(a
2 + b
2), v Gaussově rovině je to vzdálenost od počátku
komplexní jednotka je komplexní číslo, jehož absolutní hodnotou je 1; všechny komplexní
jednotky vyplňují v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a poloměrem 1; každou komplexní jednotku ε
můžeme psát ve tvaru
ε = cos ε + i sin ε,
kde ε je velikost orientovaného úhlu JOE, kde E,O,J jsou
body v Gaussově rovině, které odpovídají komplexním číslům ε, 0 + 0i, 1 + 0i, tzv. argument;
při násobení komplexních jednotek se argumenty sčítají:
(cos ε + i sin ε)(cos ψ + sin ψ) = cos(ε + ψ) + i sin(ε + ψ)
algebraické číslo, každé reálné číslo, které je kořenem rovnice
P(x) = 0, kde P(x) je nenulový polynom s celočíselnými koeficienty; např. √3 je a.č., protože je řešením
algebraické rovnice x
2 - 3 = 0 nebo číslo -2/7 je a.č., protože je řešením algebraické
rovnice 7x + 2 = 0; každé racionální číslo je algebraické
desetinné číslo je číslo, v jehož vyjádření v desítkové soustavě se
vyskytují číslice za desetinnou čárkou; jestliže zápis d.č. má konečný počet číslic za desetinnou čárkou,
znamená to, že jde o racionální číslo, které může být vyjádřeno zlomkem, jehož jmenovatel je mocninou deseti;
jestliže je v zápisu nekonečně mnoho číslic za desetinnou čárkou, ale od určitého místa se periodicky opakují, jde
opět o racionální číslo - nazývá se číslo periodické a skupina číslic, která se takto opakuje se nazývá perioda;
pokud je v zápisu nekonečně mnoho číslic za desetinnou čárkou a neexistuje perioda, jde o číslo iracionální
dokonalé číslo - každé přirozené číslo, které se rovná součtu svých
dělitelů menších než toto číslo samo; např. číslo 28 je číslo dokonalé, protože 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;
obecně platí, je-li 2
n+1 - 1 prvočíslo, pak číslo
2
n(2
n+1 - 1) je číslem dokonalým
imaginární číslo je komplexní číslo, jehož imaginární část je
nenulová (viz komplexní čísla)
ryze imaginární číslo, každé komplexní číslo tvaru ai, kde a je
reálné nenulové číslo a i je imaginární jednotka
liché číslo je celé číslo, které není dělitelné dvěma;
lze je vyjádřit jako 2n + 1, kde n je celé číslo
nesoudělná čísla jsou dvě přirozená čísla, která nemají společný
dělitel různý od jedné
soudělná čísla jsou dvě přirozená čísla, která mají kromě 1 alespoň jednoho
společného dělitele
periodické číslo je číslo vzniklé dělěním dvou čísel a kdy podíl těchto čísel
má zbytek se stále se opakující číslicí (či číslicemi, např.: 7/9 = 0,777 ... nebo 26/11 = 2,3636363636 ...)
pýthagorejská čísla, označení trojice přirozených čísel x,y,z, která
splňují rovnici x
2 + y
2 = z
2
sudé číslo, celé číslo dělitelné dvěma, lze je vyjádřit jako 2n, kde
n je celé číslo
transcedentní číslo, číslo, které není algebraické; mezi t.č. patří
např. číslo e a číslo pí; každé t.č. je iracionální; název pochází od Eulera, který řekl, že tato čísla přesahují
(lat. transcedunt) možnosti algebraických metod
